Définition
Définition d'un anneau principal :
- soit \(\mathcal A\) un anneau
- \(\mathcal A\) est intègre
- tout idéal de \(\mathcal A\) est principal (engendré par un seul élément)
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(\mathcal A\) est un anneau principal
Propriétés
Liens avec le pgcd
Conséquence du caractère principal d'un anneau :
- \(\mathcal A\) est un anneau principal
- \((a)+(b)=(d)\), avec \(a,b\in\mathcal A\)
$$\Huge\iff$$
- \((d)\) est un pgcd de \(a\) et \(b\)
[!Example]
\({\Bbb Z}\) est principal
Caractère principal des entiers relatifs
Puisque \({\Bbb Z}\) est principal, on a : $${{n{\Bbb Z}+m{\Bbb Z}}}={{\operatorname{pgcd}(n,m){\Bbb Z}}}$$
Puisque \({\Bbb Z}\) est principal, on a : $${{n{\Bbb Z}\cap m{\Bbb Z}}}={{\operatorname{ppcm}(n,m){\Bbb Z}}}$$
(
Pgcd,
Ppcm)
